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P h y s i c s S t u d y N o t e s A r t i c l e s 1 6 T a g s 8 C a t e g o r i e s 3 H o m e A r c h i v e s T a g s C a t e g o r i e s L i s t M u s i c A n i m e L i n k 留 言 板 P h y s i c s S t u d y N o t e s S e a r c h H o m e A r c h i v e s T a g s C a t e g o r i e s L i s t M u s i c A n i m e L i n k 留 言 板 P h y s i c s S t u d y N o t e s 扩 散 模 型 简 介 1 ： 从 物 理 原 理 到 代 码 实 现 C r e a t e d 2 0 2 5 0 1 0 6 | 本 研 笔 记 扩 散 模 型 简 介 1 ： 从 物 理 原 理 到 代 码 实 现 扩 散 模 型 （ D i f f u s i o n M o d e l s ） 近 年 来 在 生 成 式 人 工 智 能 领 域 取 得 了 显 著 进 展 ， 尤 其 在 图 像 生 成 任 务 中 表 现 优 异 。 本 文 将 从 扩 散 模 型 的 物 理 原 理 入 手 ， 深 入 解 析 其 工 作 机 制 ， 并 通 过 代 码 实 现 展 示 其 实 际 应 用 。 一 、 扩 散 模 型 的 基 本 概 念 扩 散 模 型 是 一 类 生 成 模 型 ， 其 核 心 思 想 是 通 过 逐 步 向 数 据 添 加 噪 声 ， 直 到 数 据 变 为 纯 噪 声 ， 然 后 学 习 如 何 反 向 去 噪 ， 从 而 生 成 与 训 练 数 据 分 布 相 似 的 新 样 本 。 这 个 过 程 可 以 分 为 两 个 阶 段 ： 正 向 扩 散 过 程 （ F o r w a r d D i f f u s i o n P r o c e s s ） ： 将 数 据 逐 步 添 加 噪 声 ， 直 至 数 据 完 全 被 噪 声 淹 没 。 反 向 去 噪 过 程 （ R e v e r s e D e n o i s i n g P r o c e s s ） ： 学 习 如 何 从 噪 声 中 逐 步 恢 复 出 原 始 数 据 。 二 、 物 理 原 理 解 析 1 . 正 向 扩 散 过 程 正 向 扩 散 过 程 可 以 被 看 作 是 一 个 马 尔 可 夫 链 ， 每 一 步 向 数 据 添 加 少 量 的 高 斯 噪 声 。 数 学 上 ， 假 设 我 们 有 一 个 数 据 分 布 $ q ( \ \ m a t h b f _ 0 ) $ ， 正 向 过 程 定 义 为 ： q ( \ \ m a t h b f _ t | \ \ m a t h b f _ ) = \ \ m a t h c a l ( \ \ m a t h b f _ t ; \ \ s q r t \ \ s u m _ , \ \ l a m b d a } \ \ h b a r \ \ o m e g a _ k = \ \ s u m _ } \ \ h b a r \ \ o m e g a _ k 两 块 大 而 平 行 的 导 体 板 之 间 相 距 $ d $ 。 我 们 定 义 一 个 坐 标 系 ， 其 中 $ ( x , y ) $ 平 面 与 导 体 板 的 表 面 平 行 ， $ z $ 方 向 表 示 与 某 一 表 面 垂 直 的 距 离 。 这 使 得 我 们 可 以 写 出 一 个 势 能 函 数 U ( d ) = E _ 0 ( d ) E _ 0 ( \ \ i n f t y ) 这 仅 给 出 了 有 限 和 无 限 间 隔 的 板 之 间 真 空 能 量 的 差 异 。 将 ( 1 ) 与 ( 2 ) 结 合 ， 我 们 得 到 E _ 0 ( d ) = \ \ h b a r \ \ s u m _ \ \ o m e g a _ k = \ \ h b a r c \ \ s u m _ \ \ s q r t \ \ r i g h t ) ^ 2 } （ 实 际 上 ， 这 个 方 程 在 $ n = 0 $ 项 . . . 拓 扑 场 论 简 介 C r e a t e d 2 0 2 5 0 1 0 1 | 课 程 学 习 笔 记 拓 扑 场 论 简 介 1 . 回 顾 Q H E 材 料 中 的 电 子 在 受 到 磁 场 的 作 用 下 会 做 圆 周 运 动 ， 其 转 动 的 频 率 我 们 称 之 为 拉 莫 尔 频 率 。 在 量 子 力 学 中 ， 我 们 可 以 用 一 个 等 效 的 谐 振 子 模 型 来 描 述 这 个 运 动 ， 从 而 电 子 形 成 的 相 应 能 级 我 们 称 之 为 L a n d a u 能 级 ， 满 足 E = \ \ h b a r \ \ o m e g a _ B ( n + \ \ f r a c ) 其 中 $ \ \ o m e g a _ B = \ \ f r a c $ 。 电 子 在 材 料 的 边 缘 处 会 产 生 边 缘 态 （ e d g e s t a t e ） ， 由 于 电 子 在 边 缘 的 运 动 方 向 是 单 一 的 且 由 磁 场 决 定 ， 我 们 称 这 种 态 为 手 征 边 缘 态 。 如 果 我 们 在 材 料 的 两 侧 加 上 电 压 （ 当 然 是 和 磁 场 垂 直 的 方 向 ） ， 那 么 两 侧 的 边 缘 态 的 费 米 能 级 就 会 发 生 变 化 ， 其 在 实 际 中 反 应 为 两 边 的 电 子 数 将 发 生 变 化 ， 这 可 以 等 效 为 一 个 霍 尔 电 导 。 在 直 观 上 ， 手 征 边 缘 态 应 该 是 完 美 的 电 流 传 输 通 道 ， 而 量 子 力 学 限 制 单 个 传 输 通 道 的 最 大 电 导 率 为 $ G _ 0 = e ^ 2 / h $ ， 所 以 整 个 材 料 的 霍 尔 电 导 为 \ \ s i g m a _ H = n \ \ f r a c 其 中 $ n $ 为 通 道 数 ， 也 就 是 电 子 所 占 有 的 L a n d a u 能 级 的 数 量 。 在 拓 扑 绝 缘 体 中 ， 其 受 拓 扑 性 质 保 护 ， 我 们 可 以 用 第 一 类 C h e r n 数 来 表 示 此 占 有 数 n = C _ 1 2 . 二 维 拓 扑 绝 缘 体 的 等 效 作 用 量 . . . 量 子 霍 尔 效 应 （ 二 ） C r e a t e d 2 0 2 4 1 2 3 1 | 课 程 学 习 笔 记 从 边 缘 态 看 量 子 霍 尔 效 应 1 . 边 缘 态 的 经 典 图 像 当 考 察 一 个 霍 尔 圆 柱 时 ， 我 们 将 证 明 样 本 边 缘 上 存 在 局 域 化 的 电 子 态 。 事 实 上 ， 证 明 这 些 态 必 须 存 在 是 非 常 容 易 的 。 我 们 只 需 要 再 次 思 考 一 个 电 子 在 垂 直 磁 场 $ B $ 中 运 动 时 的 经 典 轨 迹 。 这 个 轨 迹 是 一 个 圆 形 轨 道 ， 半 径 由 回 旋 半 径 给 出 。 当 电 子 的 轨 道 中 心 距 离 圆 柱 体 的 边 缘 太 近 时 ， 比 如 距 离 小 于 一 个 回 旋 半 径 时 ， 经 典 轨 迹 会 发 生 什 么 ？ 这 个 问 题 比 起 说 起 来 ， 画 出 来 更 加 容 易 ： 电 子 不 能 离 开 样 本 ， 需 要 在 内 部 反 弹 。 这 会 形 成 所 谓 的 跳 跃 轨 道 （ s k i p p i n g o r b i t ） 。 在 实 际 样 本 中 ， 会 有 一 个 限 制 电 子 的 电 势 ， 这 个 电 势 将 电 子 保 持 在 霍 尔 条 （ H a l l b a r ） 或 圆 柱 体 内 。 体 内 的 强 磁 场 和 限 制 电 势 的 组 合 会 在 边 缘 产 生 不 闭 合 的 轨 迹 ， 这 些 轨 迹 沿 着 整 个 边 缘 传 播 。 在 下 边 缘 只 有 向 左 运 动 的 态 ， 而 在 上 边 缘 只 有 向 右 运 动 的 态 。 每 个 边 缘 上 只 有 沿 一 个 方 向 传 播 的 态 ， 并 且 对 立 边 缘 的 传 播 方 向 是 相 反 的 。 这 些 在 边 缘 上 获 得 的 奇 特 态 通 常 被 称 为 手 征 边 缘 态 （ c h i r a l e d g e s t a t e s ） 。 边 缘 的 手 征 性 由 磁 场 的 方 向 决 定 （ 垂 直 于 平 面 向 外 或 向 内 ） ， 如 果 磁 场 方 向 反 转 ， 两 个 边 缘 的 传 播 方 向 也 会 反 转 。 上 面 的 示 意 图 完 全 基 于 经 典 物 理 ， 需 要 用 量 子 力 学 . . . 量 子 霍 尔 效 应 （ 一 ） C r e a t e d 2 0 2 4 1 2 3 1 | 课 程 学 习 笔 记 量 子 霍 尔 效 应 量 子 霍 尔 效 应 （ Q u a n t u m H a l l E f f e c t , Q H E ） 是 凝 聚 态 物 理 中 的 一 个 重 要 现 象 ， 主 要 观 察 于 二 维 电 子 气 体 （ 2 D E G ） 在 低 温 和 强 磁 场 下 。 其 核 心 特 征 是 霍 尔 电 导 的 量 子 化 ， 即 霍 尔 电 导 呈 现 出 离 散 的 量 子 值 。 以 下 将 从 L a n d a u 能 级 的 概 念 出 发 ， 详 细 推 导 量 子 霍 尔 效 应 的 理 论 基 础 。 1 . 二 维 电 子 气 体 中 的 电 子 运 动 考 虑 一 个 位 于 $ x y $ 平 面 内 的 二 维 电 子 气 体 系 统 ， 在 垂 直 于 平 面 的 外 加 均 匀 磁 场 $ \ \ m a t h b f = B \ \ h a t $ 作 用 下 。 电 子 的 哈 密 顿 量 为 ： H = \ \ f r a c \ \ l e f t ( \ \ m a t h b f + e \ \ m a t h b f \ \ r i g h t ) ^ 2 其 中 ： $ m ^ * $ 为 电 子 的 有 效 质 量 ， $ e $ 为 电 子 的 基 本 电 荷 ， $ \ \ m a t h b f $ 为 矢 势 ， 满 足 $ \ \ n a b l a \ \ t i m e s \ \ m a t h b f = \ \ m a t h b f $ 。 常 用 的 规 范 是 规 范 选 择 ， 例 如 L a n d a u 规 范 ： \ \ m a t h b f = ( B y , 0 , 0 ) 或 者 对 称 规 范 ： \ \ m a t h b f = \ \ f r a c ( y , x , 0 ) 2 . 解 薛 定 谔 方 程 ： L a n d a u 能 . . . 陈 基 计 算 物 理 讲 义 【 批 注 版 】 C r e a t e d 2 0 2 4 1 2 2 8 | 课 程 学 习 笔 记 C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s ( P a r t 3 ) 【 未 完 结 】 C r e a t e d 2 0 2 4 1 2 2 8 | 课 程 学 习 笔 记 C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s ( P a r t 3 ) [ T O C ] 7 . F o u r i e r T r a n s f o r m 7 . 1 F o u r i e r T r a n s f o r m D e f i n i t i o n : \ \ b e g i n & H ( f ) = \ \ i n t _ ^ h ( t ) e ^ d t \ \ \ \ & h ( t ) = \ \ i n t _ ^ H ( f ) e ^ d f \ \ e n d C o n v o l u t i o n T h e o r e m : g * h \ \ e q u i v \ \ i n t _ ^ g ( \ \ t a u ) h ( t \ \ t a u ) d \ \ t a u \ \ L e f t r i g h t a r r o w G ( f ) H ( f ) P a r s e v a l T h e o r e m : \ \ i n t _ ^ | h ( t ) | ^ 2 d t = \ \ i n t _ ^ | H ( f ) | ^ 2 d f 7 . 2 D i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m ( D F T ) B a s i c i d e a : W e u s e d i s c r e t e p o . . . C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s ( P a r t 2 ) 【 未 完 结 】 C r e a t e d 2 0 2 4 1 2 2 8 | 课 程 学 习 笔 记 C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s ( P a r t 2 ) [ T O C ] 5 . R o o t s a n d E x t e r m a l P o i n t s 5 . 1 R o o t F i n d i n g I f t h e r e i s e x a c t l y o n e r o o t i n t h e i n t e r v a l t h e n o n e o f t h e f o l l o w i n g m e t h o d s c a n b e u s e d t o l o c a t e t h e p o s i t i o n w i t h s u f f i c i e n t a c c u r a c y . 5 . 1 . 1 B i s e c t i o n B a s i c i d e a : U s e d i c h o t o m i e s t o f i n d c h a n g e i n t e r v a l s R e m a r k : I t c o n v e r g e s b u t o n l y s l o w l y s i n c e e a c h s t e p r e d u c e s t h e u n c e r t a i n t y b y a f a c t o r o f 2 5 . 1 . 2 R e g u l a F a l s i ( F a l s e P o s i t i o n ) M e t h o d B a s i c i d e a : u s e t h e p o l y n o m i a l i n t e r p o l a t i o n t o h e l p f i n d t h e r o o t , a n d t h e . . . C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s ( P a r t 1 ) C r e a t e d 2 0 2 4 1 2 2 8 | 课 程 学 习 笔 记 C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s ( P a r t 1 ) [ T O C ] 1 . I n t e r p o l a t i o n 1 . 1 P o l y n o m i a l I n t e r p o l a t i o n 1 . 1 . 1 L a g r a n g e P o l y n o m i a l s b a s i c i d e a l : e a c h t e r m L _ i ( x _ k ) = \ \ d e l t a _ T h e f i n a l f o r m u l a i s : p ( x ) = \ \ s u m _ ^ f _ i \ \ p r o d _ ^ \ \ f r a c 1 . 1 . 2 B a r y c e n t r i c L a g r a n g e I n t e r p o l a t i o n m o t i v a t i o n : E s s e n t i a l l y t h e s a m e a s L a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n , b u t t h e t i m e c o m p l e x i t y i s r e d u c e d f r o m t o . d e f i n e t w o q u a n t i t i e s : \ \ o m e g a ( x ) = \ \ p r o d _ ^ ( x x _ i ) a n d u _ i = \ \ f r a c ^ ( x _ i x _ k ) } T h e f . . . 原 子 分 子 碰 撞 中 的 t i m e d e l a y （ 一 ） C r e a t e d 2 0 2 4 1 1 0 1 | 本 研 笔 记 原 子 分 子 碰 撞 中 的 t i m e d e l a y （ 一 ） 1 . 引 言 激 光 技 术 的 快 速 进 展 使 得 我 们 能 够 在 原 子 和 分 子 的 自 然 超 快 时 间 尺 度 上 探 测 电 子 动 力 学 。 在 理 解 超 快 过 程 的 理 论 框 架 中 ， 量 子 碰 撞 理 论 中 的 “ W i g n e r t i m e d e l a y ” 被 视 为 一 个 重 要 的 方 法 。 多 年 来 ， 关 于 量 子 碰 撞 现 象 中 的 t i m e d e l a y 已 有 大 量 的 研 究 。 本 文 旨 在 初 步 介 绍 “ W i g n e r t i m e d e l a y ” 。 （ 本 文 主 要 参 考 文 献 D e s h m u k h , P . C . , & B a n e r j e e , S . ( 2 0 2 0 ) . T i m e d e l a y i n a t o m i c a n d m o l e c u l a r c o l l i s i o n s a n d p h o t o i o n i s a t i o n / p h o t o d e t a c h m e n t . I n t e r n a t i o n a l R e v i e w s i n P h y s i c a l C h e m i s t r y , 4 0 ( 1 ) , 1 2 7 – 1 5 3 . h t t p s : / / d o i . o r g / 1 0 . 1 0 8 0 / 0 1 4 4 2 3 5 X . 2 0 2 1 . 1 8 3 8 8 0 5 ） 在 经 典 物 理 学 中 ， 时 间 与 能 量 一 起 作 为 一 对 正 则 共 轭 变 量 可 以 在 哈 密 顿 雅 可 比 理 论 中 进 行 正 则 变 换 。 然 而 ， 在 量 子 理 论 里 ， 时 间 与 其 他 相 空 间 变 量 之 间 有 着 本 质 的 区 别 ， 即 使 能 量 和 . . . 1 2 H a o r a n D o n g A r t i c l e s 1 6 T a g s 8 C a t e g o r i e s 3 F o l l o w M e A n n o u n c e m e n t I w i l l s h a r e s o m e o f m y n o t e s h e r e , i n c l u d i n g c l a s s n o t e s , r e s e a r c h n o t e s , m i s c e l l a n e o u s t a l k s , e t c R e c e n t P o s t 扩 散 模 型 简 介 1 ： 从 物 理 原 理 到 代 码 实 现 2 0 2 5 0 1 0 6 C a s i m i r 效 应 2 0 2 5 0 1 0 1 拓 扑 场 论 简 介 2 0 2 5 0 1 0 1 量 子 霍 尔 效 应 （ 二 ） 2 0 2 4 1 2 3 1 量 子 霍 尔 效 应 （ 一 ） 2 0 2 4 1 2 3 1 C a t e g o r i e s 本 研 笔 记 3 杂 谈 1 课 程 学 习 笔 记 1 2 T a g s 随 想 量 子 力 学 计 算 机 机 器 学 习 计 算 物 理 A M O 电 动 力 学 拓 扑 场 论 A r c h i v e s J a n u a r y 2 0 2 5 3 D e c e m b e r 2 0 2 4 6 N o v e m b e r 2 0 2 4 1 S e p t e m b e r 2 0 2 4 1 J u n e 2 0 2 4 1 M a y 2 0 2 4 4 I n f o A r t i c l e : 1 6 U V : P V : L a s t U p d a t e : © 2 0 2 0 2 0 2 5 B y H a o r a n D o n g F r a m e w o r k H e x o | 浙 I C P 备 2 0 2 5 1 4 5 1 7 7 号 | T h e m e B u t t e r f l y S e a r c h L o a d i n g t h e D a t a b a s e

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