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              高 数 笔 记 函 数 奇 偶 性 常 见 的 奇 函 数 常 见 的 偶 函 数 奇 ( 偶 ) 函 数 的 推 导 规 律 周 期 性 周 期 函 数 的 原 函 数 周 期 函 数 的 导 函 数 有 界 性 常 见 的 有 界 函 数 判 断 开 区 间 有 界 的 方 法 导 数 有 界 推 原 函 数 有 界 连 续 性 三 角 函 数 诱 导 公 式 两 角 和 差 公 式 倍 角 公 式 和 差 化 积 与 积 化 和 差 和 差 化 积 积 化 和 差 变 量 相 同 的 s i n ± c o s ⟹ 只 有 一 个 s i n 或 只 有 一 个 c o s 极 限 等 价 无 穷 小 趋 向 速 度 比 较 常 用 基 本 极 限 无 穷 小 量 阶 比 较 1 ∞ 的 计 算 方 法 变 上 限 积 分 等 价 代 换 数 列 数 列 极 限 加 绝 对 值 后 的 关 系 数 列 求 和 公 式 其 它 一 些 奇 奇 怪 怪 的 公 式 泰 勒 公 式 皮 亚 诺 余 项 （ 局 部 ） 拉 格 朗 日 余 项 （ 整 体 ） 常 用 的 泰 勒 公 式 导 数 导 数 定 义 参 数 方 程 加 隐 函 数 求 导 反 函 数 求 导 高 阶 导 数 法 线 斜 率 微 分 中 值 定 理 三 大 中 值 定 理 + 费 马 定 理 费 马 定 理 罗 尔 定 理 拉 格 朗 日 中 值 定 理 拉 格 朗 日 中 值 定 理 在 微 分 中 的 一 个 延 伸 柯 西 中 值 定 理 连 续 函 数 性 质 最 值 定 理 有 界 性 定 理 介 值 定 理 推 论 零 点 定 理 辅 助 函 数 ξ f ′ ( ξ ) ± n f ( ξ ) = 0 f ′ ( ξ ) + λ f ( ξ ) = 0 e x 的 一 个 小 特 点 常 用 不 等 式 渐 进 线 水 平 渐 近 线 竖 直 渐 近 线 斜 渐 近 线 其 它 一 些 奇 奇 怪 怪 的 公 式 曲 线 弧 微 分 曲 率 直 角 坐 标 方 程 参 数 方 程 曲 率 圆 与 曲 率 半 径 不 定 积 分 分 部 积 分 的 选 择 三 角 函 数 有 理 式 凑 微 分 规 律 s i n ⁡ x 与 c o s ⁡ x 线 性 有 理 式 相 除 积 不 出 来 的 函 数 判 断 f ( x ) 原 函 数 是 否 存 在 ( x e x ) ′ 的 一 个 小 特 性 定 积 分 常 用 公 式 区 间 再 现 公 式 奇 偶 性 和 周 期 性 奇 偶 性 周 期 性 中 值 定 理 积 分 中 值 定 理 积 分 中 值 定 理 的 一 个 神 奇 操 作 广 义 积 分 中 值 定 理 几 何 意 义 定 义 求 极 限 可 积 性 必 要 条 件 充 分 条 件 变 上 限 积 分 变 上 限 积 分 求 导 变 上 限 积 分 的 连 续 性 变 上 限 积 分 的 的 可 导 性 物 理 应 用 平 面 图 形 面 积 空 间 体 的 体 积 旋 转 体 的 体 积 已 知 横 截 面 面 积 的 体 积 点 到 直 线 距 离 曲 线 弧 长 旋 转 体 侧 面 积 物 理 公 式 质 心 坐 标 （ 形 心 横 坐 标 ） 不 规 则 物 体 质 心 坐 标 形 心 坐 标 各 种 经 典 函 数 曲 线 心 形 线 星 形 线 摆 线 （ 最 速 降 线 ） 双 纽 线 玫 瑰 线 阿 基 米 德 螺 线 笛 卡 尔 叶 形 线 不 等 式 各 个 基 本 不 等 式 柯 西 积 分 不 等 式 反 常 积 分 无 穷 区 间 反 常 积 分 敛 散 性 常 用 结 论 比 较 判 别 法 比 较 判 别 法 的 极 限 形 式 无 界 函 数 反 常 积 分 敛 散 性 常 用 结 论 比 较 判 别 法 比 较 判 别 法 的 极 限 形 式 ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x   d x 特 性 微 分 方 程 齐 次 微 分 方 程 一 阶 线 性 微 分 方 程 可 降 阶 的 高 阶 方 程 y ″ = f ( x , y ′ ) （ 不 显 含 y ） y ″ = f ( y , y ′ ) （ 不 显 含 x ） 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 y ″ + p y ′ + q y = 0 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 y ″ + p y ′ + q y = f ( x ) f ( x ) = P m ( x ) e λ x f ( x ) = e α x [ P l ( 1 ) ( x ) c o s ⁡ β x + P n ( 2 ) ( x ) s i n ⁡ β x ] 多 元 函 数 微 分 学 偏 导 数 定 义 全 微 分 定 义 （ 四 条 等 价 的 定 义 ） 可 微 性 判 定 必 要 条 件 充 分 条 件 定 义 判 定 隐 函 数 偏 导 数 极 值 判 定 极 值 的 必 要 条 件 极 值 的 充 分 条 件 拉 格 朗 日 乘 数 法 z = f ( x , y ) u = f ( x , y , z ) 最 大 最 小 值 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 奇 偶 性 计 算 变 量 对 称 性 结 论 推 论 1 推 论 2 推 论 3 不 等 式 常 用 结 论 函 数 奇 偶 性 常 见 的 奇 函 数 s i n ⁡ x t a n ⁡ x a r c s i n ⁡ x a r c t a n ⁡ x l n ⁡ 1 − x 1 + x l n ⁡ ( x + 1 + x 2 ) e x − 1 e x + 1 f ( x ) − f ( − x ) 常 见 的 偶 函 数 x 2 | x | c o s ⁡ x f ( x ) + f ( − x ) 奇 ( 偶 ) 函 数 的 推 导 规 律 奇 函 数 + 常 数 ≠ 奇 函 数 偶 函 数 + 常 数 = 偶 函 数 奇 函 数 + 奇 函 数 = 奇 函 数 偶 函 数 + 偶 函 数 = 偶 函 数 奇 函 数 × 奇 函 数 = 偶 函 数 偶 函 数 × 偶 函 数 = 偶 函 数 奇 函 数 × 偶 函 数 = 奇 函 数 f ( x ) 为 奇 函 数 ⟹ f ′ ( x ) 为 偶 函 数 f ( x ) 为 偶 函 数 ⟹ f ′ ( x ) 为 奇 函 数 连 续 奇 函 数 的 原 函 数 ⟹ 偶 函 数 连 续 偶 函 数 的 原 函 数 之 一 ⟹ 奇 函 数 f ( x ) 为 奇 函 数 ⟹ ∫ 0 x f ( t )   d t 为 偶 函 数 f ( x ) 为 偶 函 数 ⟹ ∫ 0 x f ( t )   d t 为 奇 函 数 f ( x ) 为 奇 函 数 ⟹ ∫ a x f ( t )   d t 为 偶 函 数 f ( x ) 为 偶 函 数 ⇏ ∫ a x f ( t )   d t 为 奇 函 数 周 期 性 周 期 函 数 的 原 函 数 f ( x ) 连 续 ， 且 以 T 为 周 期 ： ∫ 0 x f ( t )   d t 是 以 T 周 期 的 周 期 函 数 ⟺ ∫ a a + T f ( x )   d x = 0 周 期 函 数 的 导 函 数 f ( x ) 是 周 期 函 数 ⟹ f ′ ( x ) 也 是 周 期 函 数 ， 且 f ′ ( x ) 周 期 与 f ( x ) 的 周 期 相 同 有 界 性 常 见 的 有 界 函 数 | s i n ⁡ x | ⩽ 1 | c o s ⁡ x | ⩽ 1 | a r c s i n ⁡ x | ⩽ π 2 | a r c t a n ⁡ x | ⩽ π 2 | a r c c o s ⁡ x | ⩽ π 判 断 开 区 间 有 界 的 方 法 若 f ( x ) 在 ( a , b ) 连 续 （ a 和 b 可 以 是 − ∞ 和 + ∞ ） f ( a + 0 ) 和 f ( b − 0 ) 存 在 （ 若 a 或 b 是 − ∞ 或 + ∞ ， 则 − ∞ + 0 还 是 − ∞ ， + ∞ − 0 还 是 + ∞ ） 则 f ( x ) 在 ( a , b ) 上 有 界 注 ： f ( x ) 在 ( a , b ) 上 有 界 ， 且 f ( x ) 在 ( a , b ) 连 续 ⇏ f ( a + 0 ) 和 f ( b − 0 ) 存 在 。 
 反 例 ： f ( x ) = s i n ⁡ 1 x 导 数 有 界 推 原 函 数 有 界 f ′ ( x ) 在 有 限 区 间 有 界 ⟹ f ( x ) 有 界 （ 导 函 数 有 界 ⟹ 原 函 数 有 界 ） 连 续 性 f ( x ) 在 点 x 0 处 连 续 ⟺ f ( x ) 在 x 0 处 的 左 极 限 = f ( x ) 在 x 0 处 的 右 极 限 = f ( x ) 在 x 0 处 的 函 数 值 f ( x ) 在 点 x 0 处 连 续 ⟺ l i m x → x 0 + f ( x ) = l i m x → x 0 − f ( x ) = f ( x 0 ) ⟺ l i m x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) f ( x ) 在 点 x 0 处 左 连 续 ⟺ l i m x → x 0 − f ( x ) = f ( x 0 ) f ( x ) 在 点 x 0 处 右 连 续 ⟺ l i m x → x 0 + f ( x ) = f ( x 0 ) 三 角 函 数 s i n 2 ⁡ x + c o s 2 ⁡ x = 1 1 ± s i n ⁡ x = s i n 2 ⁡ x 2 + c o s 2 ⁡ x 2   ±   2 s i n ⁡ x 2 c o s ⁡ x 2 = |   s i n ⁡ x 2 ± c o s ⁡ x 2   | s e c 2 ⁡ x = t a n 2 ⁡ x + 1 c s c 2 ⁡ x = c o t 2 ⁡ x + 1 诱 导 公 式     s i n ⁡ ( π − α ) = s i n ⁡ α   s i n ⁡ ( π + α ) = − s i n ⁡ α     c o s ⁡ ( π − α ) = − c o s ⁡ α   c o s ⁡ ( π + α ) = − c o s ⁡ α s i n ⁡ ( π 2 − α ) = c o s ⁡ α   c o s ⁡ ( π 2 − α ) = s i n ⁡ α   s i n ⁡ ( π 2 + α ) = c o s ⁡ α   c o s ⁡ ( π 2 + α ) = − s i n ⁡ α     两 角 和 差 公 式 s i n ⁡ ( A + B ) = s i n ⁡ A c o s ⁡ B + c o s ⁡ A s i n ⁡ B s i n ⁡ ( A − B ) = s i n ⁡ A c o s ⁡ B − c o s ⁡ A s i n ⁡ B c o s ⁡ ( A + B ) = c o s ⁡ A c o s ⁡ B − s i n ⁡ A s i n ⁡ B c o s ⁡ ( A − B ) = c o s ⁡ A c o s ⁡ B + s i n ⁡ A s i n ⁡ B t a n ⁡ ( A + B ) = t a n ⁡ A + t a n ⁡ B 1 − t a n ⁡ A t a n ⁡ B t a n ⁡ ( A − B ) = t a n ⁡ A − t a n ⁡ B 1 + t a n ⁡ A t a n ⁡ B 倍 角 公 式 s i n ⁡ 2 x = 2 s i n ⁡ x c o s ⁡ x c o s ⁡ 2 x = c o s 2 ⁡ x − s i n 2 ⁡ x c o s ⁡ 2 x = 2 c o s 2 ⁡ x − 1 c o s ⁡ 2 x = 1 − 2 s i n 2 ⁡ x     t a n ⁡ 2 x = 2 t a n ⁡ x 1 − t a n 2 ⁡ x 和 差 化 积 与 积 化 和 差 和 差 化 积 s i n ⁡ α + s i n ⁡ β = 2 s i n ⁡ α + β 2 c o s ⁡ α − β 2 s i n ⁡ α − s i n ⁡ β = 2 c o s ⁡ α + β 2 s i n ⁡ α − β 2       c o s ⁡ α + c o s ⁡ β = 2 c o s ⁡ α + β 2 c o s ⁡ α − β 2       c o s ⁡ α − c o s ⁡ β = − 2 c o s ⁡ α + β 2 c o s ⁡ α − β 2 积 化 和 差 s i n ⁡ α c o s ⁡ β = s i n ⁡ ( α + β ) + s i n ⁡ ( α − β ) 2 c o s ⁡ α s i n ⁡ β = s i n ⁡ ( α + β ) − s i n ⁡ ( α − β ) 2 s i n ⁡ α s i n ⁡ β = − c o s ⁡ ( α − β ) + c o s ⁡ ( α − β ) 2 c o s ⁡ α c o s ⁡ β = c o s ⁡ ( α + β ) + c o s ⁡ ( α − β ) 2 变 量 相 同 的 s i n ± c o s ⟹ 只 有 一 个 s i n 或 只 有 一 个 c o s A s i n ⁡ α + B c o s ⁡ α = A 2 + B 2 s i n ⁡ ( α + β ) ( t a n ⁡ β = B A ) A s i n ⁡ α − B c o s ⁡ α = A 2 + B 2 s i n ⁡ ( α − β ) ( t a n ⁡ β = A B ) 极 限 等 价 无 穷 小 x ∼ s i n ⁡ x ∼ t a n ⁡ x ∼ a r c s i n ⁡ x ∼ a r c t a n ⁡ x ∼ l n ⁡ ( 1 + x ) ∼ e x − 1 1 − c o s ⁡ x ∼ 1 2 x 2 ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x 1 − c o s α ⁡ x ∼ α 2 x 2 ( 1 + α ( x ) ) β ( x ) − 1 ∼ α ( x ) β ( x ) (   x → 0   ,     α ( x ) → 0   ,     α ( x ) β ( x ) → 0   ) x − l n ⁡ ( 1 + x ) ∼ 1 2 x 2 a x − 1 ∼ x l n ⁡ a x − s i n ⁡ x ∼ 1 6 x 3 a r c s i n ⁡ x − x ∼ 1 6 x 3 x − t a n ⁡ x ∼ − 1 3 x 3 a r c t a n ⁡ x − x ∼ − 1 3 x 3 l n ⁡ ( x + 1 + x 2 ) ∼ x l n ⁡ ( x + 1 + x 2 ) − x ∼ − 1 6 x 3 趋 向 速 度 比 较 x → + ∞ ： a x ≫ x β ≫ l n α x α > 0 ,   β > 0 ,   a > 1 n → + ∞ ： n n ≫ n ! ≫ a n ≫ n β ≫ l n α n α > 0 ,   β > 0 ,   a > 1 当 α > 0 时 ： l i m x → 0 x α l n β ⁡ x = 0 常 用 基 本 极 限 不 存 在 l i m n → ∞ x n =   ( a i > 0 ) 泰 勒 公 式 皮 亚 诺 余 项 （ 局 部 ） 用 于 局 部 形 态 ， 例 如 ： 极 限 、 极 值 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ″ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + o [ ( x − x 0 ) n ] 拉 格 朗 日 余 项 （ 整 体 ） 用 于 整 体 形 态 ， 例 如 ： 不 等 式 、 最 值 ξ 在 x 0 与 x 之 间 ： f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ″ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 常 用 的 泰 勒 公 式 e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + o ( x n ) s i n ⁡ x = x − x 3 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + o ( x 2 n − 1 ) c o s ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + o ( x 2 n ) l n ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + o ( x n ) ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! x n + o ( x n ) 导 数 ( C ) ′ = 0 ( x a ) ′ = a x a − 1 ( a x ) ′ = a x l n ⁡ a ( e x ) ′ = e x ( l n ⁡ | x | ) ′ = 1 x ( l o g a ⁡ x ) ′ = 1 x l n ⁡ a ( s i n ⁡ x ) ′ = c o s ⁡ x ( c o s ⁡ x ) ′ = − s i n ⁡ x ( t a n ⁡ x ) ′ = ( s e c ⁡ x ) 2 ( c o t ⁡ x ) ′ = − ( c s c ⁡ x ) 2 ( s e c ⁡ x ) ′ = s e c ⁡ x t a n ⁡ x ( c s c ⁡ x ) ′ = − c s c ⁡ x c o t ⁡ x ( a r c s i n ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 ( a r c c o s ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 ( a r c t a n ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 ( a r c c o t   x ) ′ = − 1 1 + x 2 [ l n ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) ] ′ = 1 x 2 + a 2 导 数 定 义 f ′ ( x 0 )     =     l i m x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0     =     l i m Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x 参 数 方 程 加 隐 函 数 求 导 参 数 方 程 求 导 ， 其 中 有 隐 函 数 ， 直 接 利 用 参 数 方 程 求 导 公 式 ： d y d x = y ′ ( t ) x ′ ( t ) d 2 y d x 2 = y ″ ( t ) x ′ ( t ) − x ″ ( t ) y ′ ( t ) x ′ 3 ( t ) 反 函 数 求 导 y = f ( x ) 的 反 函 数 为 x = φ ( y ) ： φ ′ ( y ) = 1 f ′ ( x ) 注 意 ： 二 阶 无 公 式 ， 需 要 链 导 法 推 导 ： φ ″ ( y ) = d [ φ ′ ( y ) ] d y = d [ 1 f ′ ( x ) ] d y = d [ 1 f ′ ( x ) ] d x   ⋅   d x d y = − f ″ ( x ) [ f ′ ( x ) ] 3 高 阶 导 数 ( s i n ⁡ x ) ( n ) = s i n ⁡ ( x + n π 2 ) ( c o s ⁡ x ) ( n ) = c o s ⁡ ( x + n π 2 ) ( u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) ( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( k ) v ( n − k ) 法 线 斜 率 法 线 斜 率 为 切 线 斜 率 的 负 倒 数 k = − 1 y ′ 微 分 中 值 定 理 三 大 中 值 定 理 + 费 马 定 理 费 马 定 理 设 f ( x ) 在 x 0 处 可 导 ， 若 f ( x ) 在 x 0 处 取 得 极 值 ， 则 f ′ ( x 0 ) = 0 罗 尔 定 理 设 f ( x ) 在 闭 区 间 [ a , b ] 连 续 在 开 区 间 ( a , b ) 可 导 且 f ( a ) = f ( b ) 那 么 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b ) ， 使 f ′ ( ξ ) = 0 拉 格 朗 日 中 值 定 理 设 f ( x ) 在 闭 区 间 [ a , b ] 连 续 在 开 区 间 ( a , b ) 可 导 那 么 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b ) ， 使 f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a 拉 格 朗 日 中 值 定 理 在 微 分 中 的 一 个 延 伸 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = f ′ [ x 0 + θ Δ x ]   Δ x 柯 西 中 值 定 理 设 f ( x ) 和 g ( x ) 在 闭 区 间 [ a , b ] 连 续 在 开 区 间 ( a , b ) 可 导 g ′ ( x ) ≠ 0 那 么 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b ) ， 使 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) 连 续 函 数 性 质 最 值 定 理 设 f ( x ) 在 闭 区 间 [ a , b ] 上 连 续 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 必 有 最 大 值 和 最 小 值 有 界 性 定 理 设 f ( x ) 在 闭 区 间 [ a , b ] 上 连 续 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 必 有 界 介 值 定 理 设 f ( x ) 在 闭 区 间 [ a , b ] 上 连 续 f ( a ) ≠ f ( b ) 则 任 意 介 于 f ( a ) 和 f ( b ) 之 间 的 数 C ， 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b ) ， 使 f ( ξ ) = C 推 论 设 f ( x ) 在 闭 区 间 [ a , b ] 上 连 续 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 可 取 到 介 于 最 小 值 m 和 最 大 值 M 之 间 的 任 何 值 C ， 并 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b ) ， 使 f ( ξ ) = C 零 点 定 理 设 f ( x ) 在 闭 区 间 [ a , b ] 上 连 续 f ( a ) ⋅ f ( b ) 0 则 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b ) ， 使 f ( ξ ) = 0 辅 助 函 数 ξ f ′ ( ξ ) ± n f ( ξ ) = 0 证 ξ f ′ ( ξ ) + n f ( ξ ) = 0 可 令 ： F ( x ) = x n f ( x ) 证 ξ f ′ ( ξ ) − n f ( ξ ) = 0 可 令 ： F ( x ) = f ( x ) x n f ′ ( ξ ) + λ f ( ξ ) = 0 证 f ′ ( ξ ) + λ f ( ξ ) = 0 ， α f ′ ( ξ ) + β f ( ξ ) = 0 可 令 ： F ( x ) = e λ x f ( x ) F ( x ) = e β α x f ( x ) ( α ≠ 0 ) 证 f ′ ( ξ ) + g ′ ( ξ ) f ( ξ ) = 0 ， f ′ ( ξ ) + g ( ξ ) f ( ξ ) = 0 可 令 ： F ( x ) = e g ( x ) f ( x ) F ( x ) = e ∫ g ( x )   d x f ( x ) e x 的 一 个 小 特 点 [ e x f ( x ) ] ′ = e x [ f ( x ) + f ′ ( x ) ]   常 用 不 等 式 s i n ⁡ x x t a n ⁡ x ( 0 x π 2 ) 拉 格 朗 日 中 值 定 理 x 1 + x l n ⁡ ( 1 + x ) x ( x > 0 ) ( 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ) a b c ⩽ a + b + c 3 e x ⩾ 1 + x | a + b | ⩽ | a | + | b | | a b | = | a | | b | |   | a | − | b |   | ⩽ | a ± b | ⩽ | a | + | b | 渐 进 线 水 平 渐 近 线 l i m x → ∞ f ( x ) = A 竖 直 渐 近 线 l i m x → x 0 f ( x ) = ∞ 斜 渐 近 线 l i m x → ∞ f ( x ) x = a l i m x → ∞ ( f ( x ) − a x ) = b y = a x + b 其 它 一 些 奇 奇 怪 怪 的 公 式 用 y = a x + b + α ( x ) ( α ( x ) → 0 ) 直 接 求 斜 渐 近 线 ， 把 a r c t a n ⁡ x 或 a r c t a n ⁡ 1 x 处 理 为 a x + b 时 使 用 ： a r c t a n ⁡ x + a r c t a n ⁡ 1 x = π 2 ( x > 0 ) 曲 线 弧 微 分 d s = 1 + y ′ 2   d x 曲 率 直 角 坐 标 方 程 K = | y ″ | ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 参 数 方 程 K = | y ″ x ′ − x ″ y ′ | ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 2 曲 率 圆 与 曲 率 半 径 曲 率 半 径 R ： R = 1 K 不 定 积 分 ∫ 0   d x = C ∫ a x   d x = a x l n ⁡ a + C ∫ x a   d x = 1 a + 1 x a + 1 + C ∫ 1 x   d x = l n ⁡ | x | + C ∫ e x   d x = e x + C ∫ 1 x   d x = 2 x + C ∫ s i n ⁡ x   d x = − c o s ⁡ x + C ∫ c o s ⁡ x   d x = s i n ⁡ x + C ∫ s e c 2 ⁡ x   d x = t a n ⁡ x + C ∫ c s c 2 ⁡ x   d x = − c o t ⁡ x + C ∫ s e c ⁡ x t a n ⁡ x   d x = s e c ⁡ x + C ∫ c s c ⁡ x c o t ⁡ x   d x = − c s c ⁡ x + C ∫ 1 1 − x 2   d x = a r c s i n ⁡ x + C ∫ 1 1 + x 2   d x = a r c t a n ⁡ x + C ∫ 1 a 2 − x 2   d x = a r c s i n ⁡ x a + C ∫ 1 a 2 + x 2 = 1 a a r c t a n ⁡ x a + C ∫ 1 x 2 − a 2   d x = 1 2 a l n ⁡ | x − a x + a | + C ∫ 1 a 2 − x 2   d x = − 1 2 a l n ⁡ | x − a x + a | + C ∫ 1 x 2 + a 2   d x = l n ⁡ | x + x 2 + a 2 | + C ∫ 1 x 2 − a 2   d x = l n ⁡ | x + x 2 − a 2 | + C ∫ s e c ⁡ x   d x = l n ⁡ | s e c ⁡ x + t a n ⁡ x | + C ∫ c s c ⁡ x   d x = − l n ⁡ | c s c ⁡ x + c o t ⁡ x | + C y + y 2 − 1 = e ± x ⟹ y = 1 2 ( e x + e − x ) = c o s h ⁡ x 分 部 积 分 的 选 择 把 p n ( x ) 以 外 的 凑 近 微 分 号 ： ∫ p n ( x ) e α x   d x ∫ p n ( x ) s i n ⁡ α x   d x ∫ p n ( x ) c o s ⁡ α x   d x 把 p n ( x ) 凑 近 微 分 号 ： ∫ p n ( x ) l n ⁡ x   d x ∫ p n ( x ) a r c t a n ⁡ x   d x ∫ p n ( x ) a r c s i n ⁡ x   d x 连 续 两 次 将 e α x ( 指 数 ) 凑 近 微 分 号 ： ∫ e α x s i n ⁡ β x   d x ∫ e α x c o s ⁡ β x   d x 三 角 函 数 有 理 式 凑 微 分 规 律 R ( − s i n ⁡ x ,       c o s ⁡ x ) = − R ( s i n ⁡ x , c o s ⁡ x ) 凑 d c o s ⁡ x R (   s i n ⁡ x ,   − c o s ⁡ x ) = − R ( s i n ⁡ x , c o s ⁡ x ) 凑 d s i n ⁡ x R ( − s i n ⁡ x , − c o s ⁡ x ) = − R ( s i n ⁡ x , c o s ⁡ x ) 凑 d t a n ⁡ x s i n ⁡ x 与 c o s ⁡ x 线 性 有 理 式 相 除 ∫ c s i n ⁡ x + d c o s ⁡ x a s i n ⁡ x + b c o s ⁡ x   d x = ∫ A ( a c o s ⁡ x − b s i n ⁡ x ) + B ( a s i n ⁡ x + b c o s ⁡ x ) a s i n ⁡ x + b c o s ⁡ x   d x 积 不 出 来 的 函 数 ∫ e − x 2   d x ∫ s i n ⁡ x x   d x ∫ c o s ⁡ x x   d x 判 断 f ( x ) 原 函 数 是 否 存 在 f ( x ) 在 区 间 I 上 连 续 ⟹ f ( x ) 存 在 原 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 不 连 续 f ( x ) 在 区 间 I 上 有 第 一 类 间 断 点 ⟹ f ( x ) 不 存 在 原 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 有 第 二 类 间 断 点 ⟹ 不 确 定 ( x e x ) ′ 的 一 个 小 特 性 ( x e x ) ′ = ( x + 1 ) e x ( x 2 e x ) ′ = x ( x + 2 ) e x 定 积 分 常 用 公 式 为 正 偶 数 为 大 于 的 奇 数 ∫ 0 π 2 s i n n ⁡ x   d x = ∫ 0 π 2 c o s n ⁡ x   d x = 把 R m ( 1 ) ( x ) 和 R m ( 2 ) ( x ) 设 出 来 ， R m ( x ) 是 P l ( 1 ) ( x ) 和 P n ( 2 ) ( x ) 的 中 的 最 高 次 项 多 项 式 ， 0 次 就 设 a 和 b ， 1 次 就 设 a x + b 和 c x + d ， 2 次 就 设 a x 2 + b x + c 和 d x 2 + e x + f 。 
 c o s ⁡ β x 和 s i n ⁡ β x 照 抄 。 
 求 r 2 + p r + q = 0 ， 求 得 r 1 ,   r 2 。 
 抄 f ( x ) ， 把 α + β i 写 出 来 ， α 是 e α x 中 的 α 的 值 ， β 是 c o s 或 者 s i n 中 的 β 。 
 比 对 r 和 α + β i 的 相 同 个 数 ， 相 同 的 数 量 即 为 k ， 把 k 写 出 来 ， 把 x k 写 出 来 。 
 e α x 照 抄 。 
 多 元 函 数 微 分 学 偏 导 数 定 义 f x ′ ( x 0 ,   y 0 )   =   l i m Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ,   y 0 ) − f ( x 0 ,   y 0 ) Δ x   =   l i m x → x 0 f ( x ,   y 0 ) − f ( x 0 ,   y 0 ) x − x 0   =   d [ f ( x ,   y 0 ) ] d x   |   x = x 0 f y ′ ( x 0 ,   y 0 )   =   l i m Δ y → 0 f ( x 0 ,   y 0 + Δ y ) − f ( x 0 ,   y 0 ) Δ y   =   l i m y → y 0 f ( x 0 ,   y ) − f ( x 0 ,   y 0 ) y − y 0   =   d [ f ( x 0 ,   y ) ] d y   |   y = y 0 全 微 分 定 义 （ 四 条 等 价 的 定 义 ） Δ z = f ( x 0 + Δ x ,   y 0 + Δ y ) − f ( x 0 ,   y 0 ) = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) l i m Δ x → 0 Δ y → 0 [ f ( x 0 + Δ x ,   y 0 + Δ y ) − f ( x 0 ,   y 0 ) ] − [ A Δ x + B Δ y ] ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = 0 Δ z = f ( x ,   y ) − f ( x 0 ,   y 0 ) = A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + o ( ρ ) l i m x → x 0 y → y 0 [ f ( x ,   y ) − f ( x 0 ,   y 0 ) ] − [ A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) ] ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = 0 可 微 性 判 定 必 要 条 件 可 微 ⟹ f x ′ ( x 0 ,   y 0 ) 和 f y ′ ( x 0 ,   y 0 ) 都 存 在 （ 可 微 ⟹ 一 阶 偏 导 数 存 在 ） 充 分 条 件 f x ′ ( x ,   y ) 和 f y ′ ( x ,   y ) 在 ( x 0 ,   y 0 ) 连 续 ⟹ 可 微 （ 一 阶 偏 导 数 都 存 在 并 且 连 续 ⟹ 可 微 ） 定 义 判 定 两 个 条 件 都 满 足 才 可 微 ： f x ′ ( x 0 ,   y 0 ) 和 f y ′ ( x 0 ,   y 0 ) 都 存 在 。 
 （ 一 阶 偏 导 数 至 少 一 个 不 存 在 ⟹ 不 可 微 ） l i m Δ x → 0 Δ y → 0 [ f ( x 0 + Δ x ,   y 0 + Δ y ) − f ( x 0 ,   y 0 ) ] − [ f x ′ ( x 0 ,   y 0 ) Δ x + f y ′ ( x 0 ,   y 0 ) Δ y ] ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = 0 隐 函 数 偏 导 数 ∂ y ∂ x = − F x ′ F y ′ ∂ z ∂ x = − F x ′ F z ′ ∂ z ∂ y = − F y ′ F z ′ 极 值 判 定 极 值 的 必 要 条 件 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 极 值 的 充 分 条 件 以 下 是 决 定 函 数 内 部 是 否 有 最 大 值 和 最 小 值 ： A = f x x ″ ( x 0 , y 0 ) B = f x y ″ ( x 0 , y 0 ) C = f y y ″ ( x 0 , y 0 ) 若 A C − B 2 > 0 ， 则 ( x 0 , y 0 ) 为 f ( x , y ) 的 极 值 点 A 0 ， 则 ( x 0 , y 0 ) 为 f ( x , y ) 的 极 大 值 点 A > 0 ， 则 ( x 0 , y 0 ) 为 f ( x , y ) 的 极 小 值 点 若 A C − B 2 0 ， 则 ( x 0 , y 0 ) 不 为 f ( x , y ) 的 极 值 点 若 A C − B 2 = 0 ， 则 不 确 定 ， 一 般 用 定 义 判 定 拉 格 朗 日 乘 数 法 z = f ( x , y ) z = f ( x , y ) 约 束 条 件 φ ( x , y ) F ( x , y , φ ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y ) { f x ′ ( x , y ) + λ φ x ′ ( x , y ) = 0 f y ′ ( x , y ) + λ φ y ′ ( x , y ) = 0 φ ( x , y ) = 0 ( x , y ) 为 可 能 的 极 值 点 u = f ( x , y , z ) u = f ( x , y , z ) 约 束 条 件 φ ( x , y , z ) ， ψ ( x , y , z ) F ( x , y , z , φ , ψ ) = f ( x , y , z ) + λ φ ( x , y , z ) + μ ψ ( x , y , z ) { f x ′ ( x , y , z ) + λ φ x ′ ( x , y , z ) + μ ψ x ′ ( x , y , z ) = 0 f y ′ ( x , y , z ) + λ φ y ′ ( x , y , z ) + μ ψ y ′ ( x , y , z ) = 0 f z ′ ( x , y , z ) + λ φ z ′ ( x , y , z ) + μ ψ z ′ ( x , y , z ) = 0 φ ( x , y , z ) = 0 ψ ( x , y , z ) = 0 ( x , y , z ) 为 可 能 的 极 值 点 最 大 最 小 值 求 f ( x ) 在 D 内 部 可 能 的 极 值 点 ， 即 f ′ ( x ) = 0 求 f ( x ) 在 D 边 界 上 的 最 大 最 小 值 ， 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 比 较 所 有 驻 点 大 小 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 ∬ D f ( x , y )   d σ = ∫ α β d θ ∫ φ 1 ( θ ) φ 2 ( θ ) f ( ρ c o s ⁡ θ , ρ s i n ⁡ θ ) ρ   d ρ 适 合 极 坐 标 的 被 积 函 数 ： （ 以 被 积 函 数 为 主 ） f ( x 2 + y 2 ) f ( y x ) f ( x y ) 适 合 极 坐 标 的 积 分 域 ： x 2 + y 2 ⩽ R 2 r 2 ⩽ x 2 + y 2 ⩽ R 2 x 2 + y 2 ⩽ 2 a x x 2 + y 2 ⩽ 2 b y 奇 偶 性 计 算 积 分 域 D 关 于 y 轴 对 称 （ 即 关 于 x = 0 对 称 ） ： 关 于 为 偶 函 数 关 于 奇 函 数 ∬ D f ( x , y )   d σ = { 2 ∬ D x ⩾ 0 f ( x , y )   d σ , f ( x , y ) 关 于 x 为 偶 函 数 0 , f ( x , y ) 关 于 x 奇 函 数 积 分 域 D 关 于 x 轴 对 称 （ 即 关 于 y = 0 对 称 ） ： 关 于 为 偶 函 数 关 于 奇 函 数 ∬ D f ( x , y )   d σ = { 2 ∬ D y ⩾ 0 f ( x , y )   d σ , f ( x , y ) 关 于 y 为 偶 函 数 0 , f ( x , y ) 关 于 y 奇 函 数 变 量 对 称 性 结 论 对 于 一 个 二 重 积 分 ， 积 分 域 D 的 x , y 对 调 （ 积 分 域 变 换 成 了 关 于 y = x 对 称 的 另 一 个 区 域 ） 被 积 函 数 f ( x , y ) 的 x , y 对 调 （ 被 积 函 数 变 换 成 了 关 于 y = x 对 称 的 另 一 个 函 数 ） 则 值 不 变 。 
 推 论 1 积 分 域 D 关 于 y = x 对 称 ： 也 就 是 积 分 域 的 x 和 y 对 调 后 还 是 原 来 的 区 域 相 当 于 只 对 调 了 被 积 函 数 的 x 和 y ， 被 积 函 数 变 换 成 了 关 于 y = x 对 称 的 另 一 个 函 数 ： 则 值 不 变 ， 即 ： ∬ D f ( x , y )   d σ = ∬ D f ( y , x )   d σ 推 论 2 被 积 函 数 f ( x , y ) 关 于 y = x 对 称 ： 也 就 是 被 积 函 数 的 x 和 y 对 调 后 ， 函 数 还 和 原 来 还 一 模 一 样 相 当 于 只 对 调 了 积 分 域 的 x 和 y ， 那 么 就 是 积 分 域 变 换 成 了 关 于 y = x 对 称 的 另 一 个 区 域 则 值 不 变 ， 即 ： ∬ D 1 f ( x , y )   d σ = ∬ D 2 f ( x , y )   d σ 推 论 3 积 分 域 D 关 于 y = x 对 称 ， 同 时 被 积 函 数 f ( x , y ) 也 关 于 y = x 对 称 ： 一 个 大 的 积 分 区 域 D 关 于 y = x 对 称 ， 被 y = x 分 成 了 两 个 小 区 域 D 1 和 D 2 被 积 函 数 f ( x , y ) 的 x 和 y 对 调 后 ， 函 数 还 和 原 来 还 一 模 一 样 则 大 区 域 D 上 积 分 值 的 一 半 等 于 任 意 一 个 小 区 域 D 1 或 D 2 积 分 的 值 ， 即 ： 1 2 ∬ D f ( x , y )   d σ = ∬ D 1 f ( x , y )   d σ = ∬ D 2 f ( x , y )   d σ 不 等 式 | ∬ D f ( x , y )   d σ | ⩽ ∬ D |   f ( x , y )   |   d σ 若 在 D 上 f ( x , y ) ⩽ g ( x , y ) ： ∬ D f ( x , y )   d σ ⩽ ∬ D g ( x , y )   d σ 若 在 D 上 m ⩽ f ( x , y ) ⩽ M （ σ 为 区 域 D 面 积 ） ： m σ ⩽ ∬ D f ( x , y )   d σ ⩽ M σ 常 用 结 论 一 个 概 率 论 中 的 常 用 结 论 ： ∫ − ∞ + ∞ e − t 2   d t = π 苏 I C P 备 1 9 0 3 3 7 1 5 号 2

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